09月22日, 2014 359次
地球自转角速率（地球自转的角速率）
根源：刘延柱科学网博客，作家：刘延柱。
01
傅科摆和傅科陀螺
1851年，法兰西共和国物道学家傅科 (Foucault, J.) 在巴黎先哲祠大厅的穹顶上吊挂了一条67m长的绳子，下端贯穿一个28kg的摆锤（图1、图2），这个驰名的傅科摆是生人为表明地球自转的初次试验。固然哥白尼 (Copernivus, N.) 的日心主义早在16世纪就已提出，但人们仍没辙经过本人的感觉器官径直认识到地球的疏通。
图1 傅科 (J.Foucault, 1819-1868)
图2 傅科摆试验
1602年，伽利略 (Galilei, G.) 已对复摆的顺序有了深刻的看法。复摆的摆动是平面疏通，摆动平面在弹性空间内保护方位静止。如地球有自转疏通，摆动平面对立地球就会爆发偏转。地球绕极轴每日夜自转一周，自转角速率e 每钟点顺时针转化 150。巴黎的纬度 为北纬48.52，地球绕巴黎地垂直线的角速率为esin，即大概每钟点11.24。将摆长l=67m，重力加速率g=9.8m/s 代入复摆的周期公式，T=2(l/g)1/2=16.4s。每摆动一次，摆动平面应对立地球顺时针转过约3角分。试验考证了傅科的预言惹起极大振动。
实行傅科摆试验的第二年，傅科于1852年在巴黎农科院举行了另一次试验。他展现了一台由细线吊挂着装有旋子的圆环形成的新仪器，旋子的回旋轴可自在变换目标（图3）。让旋子的回旋轴沿子午线朝北维持程度，无动量矩效率时，回旋轴应维持弹性空间中的指向静止。如地球顺时针转化，地球上的察看者应能看到回旋轴对立地球的顺时针偏转，进而再次表明地球自转（图4）。但试验并未赢得预期截止，两个要害因为引导波折。其一，旋子的转速太低；其二，悬线的扭矩重要遏制了旋子的疏通。试验虽未胜利却具备要害意旨，由于这台不够完备的仪器是汗青上第一台具备科学意旨的陀螺仪 (gyroscope)。
图3 傅科的陀螺仪
02
能指北的傅科陀螺仪
陀螺仪是由外环、内环（或内含旋子的壳体）和旋子构成的体例。以陀螺的质心O 为原点创造 (O-xyz) 坐标系。x 轴为外环转轴，y 轴为内环转轴，z 轴为旋子极轴，是旋子的回旋轴。外环的转角为，内盘绕外环的转角为（图4）。以i、j、k 表白各坐标轴的基矢量。若转百思特网子的极弹性矩为C，绕z 轴赶快回旋的角速率为 0，则动量矩L=C0k。领会陀螺旋子的进动时，慢慢转化的表里环的动量矩可略去不计。以O 为原点创造与地球固结的地舆坐标系 (O-XEN)，个中，X 轴沿地垂直线进取，E 轴沿纬线向东，N 轴沿子午线向北（图5）。将陀螺仪的外环轴x 沿笔直轴X 安置在地球上。先假如内环对立外环恒定的简化景象，令=0。因旋子的回旋轴z 轴仅剩一个自在度，称为单自在度傅科陀螺仪。
图4 表里环支承的陀螺仪
图5 地舆坐标系
回旋物体的回旋轴在动量矩效率下变换目标的疏通称为进动，磁体进动爆发的弹性动量矩称为陀螺动量矩。地球是绕极轴Z0 以角速率e 自转的转化坐标系，设安置处的纬度为，以X0、E0、N2表白 (O-XEN) 各坐标轴的基矢量，令1=ecos， 2=esin，则e=2X0+1N0。设初始时 (O-xyz) 与 (O-XEN) 重合，旋子的极轴z 指北。随后框架绕x 轴顺时针转过 角，使极轴偏离子午线。因框架绕X 轴可自在转化不受牵制，e 沿X 轴的重量2X0 不大概传播给旋子。惟有沿N 轴的重量1N0 可经过轴承的牵制力效率于旋子使其进动，爆发沿x 轴的陀螺动量矩 Mc=L1N0。仅保持 的一阶少量，将N0=j+k 代入后，导出
此动量矩与框架的偏转目标差异，督促框架与极轴绕x 轴回归到子午线场所。回归进程中旋子的动量矩L 沿y 轴变革所须要的外动量矩，由轴承的牵制供给。之上领会表白，单自在度傅科陀螺仪具备指北的本领。
但这种单自在度陀螺仪很难用来船舶或其它挪动载体。因为是地球自转过于慢慢，所爆发的陀螺动量矩过于微漠，没辙克复轴承冲突的妨碍。其余，陀螺的框架轴必需庄重维持笔直，稍有歪斜即爆发重要缺点。虽不许本质运用，这个大略的陀螺安装却创办了运用地球自转创作指北仪器的搏斗过程。
03
怎样创作能本质运用的陀螺罗经
咱们的前辈很早就在大海上震动，在茫茫大海中飞翔须要精确的方位引导。运用地球磁场的南针是我国第四次全国代表大会创造之一，传入西方后变成重洋船队必备的磁罗经。15世纪郑和下欧美的宏大舰队，16世纪伽马、哥伦布的舰队，都离不开磁罗经的导航，但磁罗盘只能用来木制船舶。19世纪初，欧洲展示了铁船，钢铁船体对磁力线的干预使磁罗经作废。所以，探究新的帆海罗经就变成帆海泱泱大国的急迫工作。傅科陀螺仪的展示，为创作新式罗经供给了蓄意。
单自在度陀螺不可功，令内环自在转化，改为二自在度陀螺。将外环笔直恒定在地球北半球上的P 点，先令内环程度，旋子极轴沿子午线指北。短促功夫后，地球因自转绕南南极轴转过微弱观点，使P 点沿纬线自西向东转到P 点处。因为陀螺的定轴性，极轴为维持弹性空间中的指向静止，向东偏离子午线的新场所而展示 偏角（图6）。单自在度陀螺仪能运用地球自转爆发的陀螺动量矩使极轴回归子午线场所，但因回复动量矩过于微漠不大概本质运用。所以，要害题目是要探求更宏大的能源使极轴赶快恢恢复位。
提防查看不妨创造，在向东偏离子午线的同声，极轴还轻轻抬起，展示 偏角而不复维持程度。极轴偏离程度面包车型的士这一局面特殊要害，它提醒了运用重力恢恢复位的大概性。即使在安置旋子的内环下方减少配重，使内环和旋子拉拢体的中心向下偏离支承重心，产生绕y 轴转化的复摆。当内环昂首时，重力爆发沿纬线向西的动量矩，使极轴启发外盘绕笔直轴向西进动，回到与子午线普遍的原场所。所以思绪渐渐明显：运用重力摆爆发的动量矩包办微漠的地球自转惹起的陀螺动量矩，可使陀螺仪的旋子进动盯梢子午线。
图6 地球自转惹起旋子极轴的偏转
令绕x 轴的重动量矩mgl 与旋子进动爆发的陀螺动量矩L(d/dt ) 彼此平稳。导出
个中，k=mgl/L。此时旋子因内环偏角 的变革爆发绕y 轴的陀螺动量矩L(d/dt )，与地球自转e惹起的陀螺动量矩L1 彼此平稳，导出
之上两个方程决定了罗经的进动顺序。领会此线性方程组，导出特性=i(k1)1/2，表白罗经指北的平稳状况宁静。受扰后的疏通是环绕平稳状况的周期疏通，周期为T=2/(k1)1/2。因1<<1，罗经的周期极长，可长达一个多钟点。因为 与 的变革速率过于迥异，疏通进程中极轴的端点轨迹是极扁的长圆。若无阻尼成分生存，开机后旋子极轴将沿扁长圆慢慢地进动。要使陀螺罗经能本质运用，起动后极轴必需赶快停止在子午线上。所以，灵验的阻尼办法必不行少。有两种可沿用的阻尼计划：减少沿x 轴目标与 成比率的径向动量矩（图7a），或减少沿y 轴目标与 成比率的径向动量矩（图7b）。
图7 陀螺罗经的阻尼
实行第一种阻尼计划的本领很多，最大略的本领是将下摆的配重与内环拉拢体的贯穿点向东偏移一微弱观点。极轴对立程度面歪斜 角时，重力对O 点除爆发绕y 轴的动量矩My 除外，还附带爆发绕x 轴的微弱动量矩Mx 起阻尼效率（图8）。
图8 配重与内环的偏爱贯穿
实行第二种计划的艰巨在乎方位角 的消息没辙预先赢得，由于 的量测基准恰是有待于罗经创造的子午面。运用 与 的相位差为90的特性，可将此阻尼动量矩由与 成正比但相位与 出入90的程度动量矩包办。液体摆即具备此特出功效，它由两只盛有粘性液体形势沟通的容器构成，容器间以细管贯串通。当连通器的载体歪斜时，液体从高端容器流入低端容器，爆发重动量矩展现复摆效力。设液面对立容器轴 y 的倾斜角为，载体的y 轴对立程度轴Y 歪斜 角，则液面对立Y 轴的倾斜角为- （图9）。液体在连通管内的风速与两头压力差成正比，即与- 成正比，d/dt=-c(-)。将比率系数c 的倒数记作T=1/c，写稿T(d/dt)+= 。对于强粘性液体，功夫常数T 充满大。则含风速的第一项好像与 成正比，表白与颠覆动量矩成比率的 与基体的动摇疏通之间有逼近90的相位差。
图9 液体摆
04
试验中展示的新题目
处置了陀螺罗经的指北道理此后，又有试验中提出的新表面题目展示。开始是罗经本质运用时，船舶南北向的飞翔速率会变换表面领会中地舆坐标系的指向，使陀螺极轴趋近的子午线偏离真实的子午线。所引导的子午线偏离称为速率缺点（图10）。
个中，R 为地球半径，vE 和vN 为船舶的东向和北向航行速度。速率缺点随纬度 的增高而变大，但可在飞翔中给予矫正。仅当纬度逼近地球南北极时缺点无穷增大，而不许用来低纬度地域。
图10 速率缺点的爆发
其余，船舶加快、放慢或绕圈子在重力摆上展示的弹性力会惹起报复缺点。这个困难被德国物道学家舒勒 (Schuler, M.) 完全处置。1923年，他从表面上表明，即使将复摆的摆长减少到与地球半径R 十分，则不管载体的加速率有多大，复摆可一直与地垂直线目标维持普遍而受命加速率的干预。将地球半径R=6371km，重力加速率g=9.81m/s 代入周期公式T=2(R/g)1/2，算出此周期为84.4min。这个能制止加速率干预的特出周期，称为舒勒周期 (Schuler’s period)。不妨表明，将陀螺的周期安排成舒勒周期，就能制止报复缺点展示。
最重要的题目来自船体在海浪鼓励下永不休憩的动摇。绕艏艉线横摇的摆幅可高达十余度。罗经的前期试验已表露出动摇惹起的宏大缺点，为此应先从表面发端商量缺点的爆发因为以矫正罗经的构造。设船舶飞翔的方位角为，令地舆坐标系 (O-XEN) 绕笔直轴X 顺时针转化 角后构成新的参考坐标系 (O-XYZ)。N 轴百思特网达到的新场所Z 轴沿船体的艏艉线。船体绕浮心O0 绕Z 轴作角频次为，幅值为 的横摇。设陀螺的支承点O 与O0 的笔直隔绝为h，则O 点处爆发沿横轴Y 的加快a=aY0，a=hsint（图11百思特网）。
图11 船体绕Z轴的动摇
为制止罗经随船舶一齐动摇，安排者在前环与外环之间减少一个绕z 轴转化的中环与动摇的船体分隔。令载有内环和旋子的中环拉拢体的中心下移产生复摆，使其在船体动摇时仍能维持笔直。设罗经居于理念状况，陀螺坐标系 (O-xyz) 与地舆坐标系 (O-XEN) 实足适合。若拉拢体的品质为m，下移的质心O1 至陀螺支点O 沿摆轴 x1 的矢径为l，对立笔直轴的摆动角为（图12）。因动摇爆发的弹性力-ma 对立支点O 爆发动量矩M=l(-ma)，其沿z 轴的重量Mz使拉拢体的摆角 作受迫振荡。与此同声，M 沿x 轴和y 轴的重量Mx 和My 经过轴承传播至旋子。从图13可看出，在动摇进程中，水等分量My 因目标差异而对消，但向心力重量Mx 目标一直沟通。因为船体动摇的频次远高于陀螺的固有频次，弹性动量矩Mx 和My 对陀螺的效率可用每个周期内的平衡值包办。My 的平衡值为零，而Mx 的平衡值使旋子绕轴偏离 角，与地球自转爆发的陀螺动量矩L1 平稳。所偏离的观点s 即船舶动摇引导的引导缺点：
此动摇缺点不只在于于罗经的构造参数、安置场所和动摇强度，并且与纬度角 和方位角 相关。在=0，90，180，270等特出场所动摇缺点为零；=45，135，225，315时动摇缺点有最大值。纬度愈高动摇缺点愈重要，逼近地球南北极时动摇缺点无穷增大。
图12 中环拉拢体的受迫振荡
图13 动摇爆发的弹性动量矩
05
陀螺罗经的本领实行
当陀螺罗经的力学道理已被充溢论据此后，接下来就要靠工程师的聪慧和企业家的勇气将表面变为实际了。傅科陀螺仪的波折教导中，1865年特鲁维 (Truv, G.) 运用电效果启动处置了普及陀螺转速题目。1904年弗珀 (Fppl, A.) 在德国就运用钢丝吊挂的电动双旋子陀螺胜利证领会地球自转，实行了傅科未实行的理想。所以取消支承冲突，罗经阻尼以及取消动摇缺点等题目，就变成工程师们亟待处置的本领要害。
19世纪末发端的早期处事中，特鲁维已运用表里环构成的万向支架包办钢丝吊挂支承。1884年开尔文 (Lord Kelvin) 倡导将带旋子的拉拢体悬浮在液体中的支承计划。过程对百般本领计划的不懈探究，到20世纪初才有了本质性发达。1908年德国的安休茨硕士 (Anschtz-Kmpfe,H.) 创造出悬浮在水银容器内的单旋子陀螺罗经（图14）。1909年美利坚合众国的斯佩里 (Sperry,E.A.) 沿用与傅科陀螺仪一致的钢丝吊挂支承，但减少了遏制体例随时取消钢丝的扭矩。尔后，产生了沿各别本领道路兴盛的两种典型陀螺罗经。
图14 安休茨单旋子陀螺罗经
1912年安休茨对罗经做了宏大矫正，他将框架和旋子装进一个空腹钢球，钢球悬浮在水银容器里，其中心低于浮心。为取消动摇缺点，钢球内除去沿z 轴的主旋子 H1 除外，再减少对称侧放的两个副旋子H2 和H3，运用杠杆贯穿以保护二者与z 轴有沟通的倾斜角。副旋子沿z 轴的动量矩重量与主旋子的动量矩叠加起导向效率。沿y 轴的重量因目标差异而对消为零（图15），当动摇惹起沿y 轴的弹性力对钢球质心爆发动量矩M 时，会唆使副旋子H2 和H3 朝z 轴的同目标进动，所爆发的陀螺动量矩与干预动量矩对消，以制止钢球绕z 轴摆动，进而取消动摇的感化。
图15 安休茨三旋子陀螺罗经
安休茨三旋子罗经产物本质用来帆海15年，享有很高光荣。1927年再次窜改，将陀螺仪的主旋子H1 略去，由歪斜45的副旋子H2 和H3 实足代替。陀螺仪和一切附属类小部件十足装入密封的铜球浮在液体容器内（图16）。犯得着一提的是，物道学巨匠爱因斯坦 (Einstein, A.) 曾动作专利审定大师介入安休茨罗经的窜改安排处事（图17）。矫正后的安休茨双旋子罗经动作老练的本领计划被前苏维埃社会主义共和国联盟仿造，产生Kurs 型号陀螺罗经。也曾引入我国，变成早期的国产罗经产物。
图16 安休茨双旋子陀螺罗经
图17罗经试验船上的安休茨(左)与爱因斯坦（右）
沿另一目标兴盛的斯佩里罗经沿用带遏制的钢丝吊挂支承，单旋子加液体摆以爆发阻尼和取消动摇缺点。跟着科学本领的超过，以斯佩里罗经为普通，兴盛为新颖化的电气控制罗经（图18）。运用与液体摆有沟通本质的强阻尼摆动作基础敏锐元件，测出的内环偏角 数据经过遏制体例输出电动的动量矩器，以爆发指北进程所须要的动量矩。所以简单依附力学顺序创作的保守罗经被电子遏制体例实足代替。
图18 电气控制陀螺罗经
电气控制罗经的展示使陀螺罗经的世纪兴盛汗青告一段落。陀螺罗经的创造是力学与工程贯串的一个胜利典型。回忆这段汗青的意旨在乎领会生人对天然顺序从看法到运用的搏斗过程，依附力学家、工程师和企业家的不懈全力，毕竟使帆海家的理想成真。这对处置暂时本领兴盛的百般新题目不无参考意旨。
参考文件：
刘延柱. 陀螺力学(第二版). 北京：科学出书社，2009
