09月22日, 2014 200次
圆的定义：如图1，在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径e5a48de588b6e799bee5baa6e997aee7ad9431333262366439．也就是说，圆是到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是圆心，定长是半径．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 图1 图2 图3圆的表示与确定：以点 为圆心的圆，记作“⊙ ” ，读作“圆 ” ．通过圆的定义，我们知道，如果确定了一个圆的圆心和它的半径，那么我们就确定了这个圆．其中圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆；如图2中两个圆是以点 为圆心的同心圆．能够重合的两个圆叫等圆；如图3中⊙ 和⊙ 的半径都等于 ，所以它们是等圆．同圆或等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 13.1.2. 点和圆的位置关系 设圆的半径为 ，点到圆心的距离为 ，则有：(1) 点在圆内(即圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合)．(2) 点在圆上(即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合)．(3) 点在圆外(即圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合)． 13.1.3. 过三点的圆 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．推论：经过同一直线上的三点不能作圆． 13.1.4. 垂径定理及其推论 有关概念：连结圆上任意两点的线段(如图1中的 )叫做弦，经过圆心的弦(如图1中的 )叫做直径，直径等于半径的2倍．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆．大于半圆的弧(用三个字母表示，如图2中的 )叫做优弧；小于半圆的弧(如图2中的 )叫做劣弧． 图1 图2圆的轴对称性:把一张圆形的纸片沿着任意一条直径对折，直径两侧的两个半圆能够互相重合．这说明圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．这就是垂径定理．推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 13.1.5. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角．从圆心到弦的距离叫做弦心距．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提． 13.1.6. 圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．注意：若结合“圆心角的度数等于它所对的弧的度数”可得“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半” ，但不可叙述为“圆周角等于它所对弧的一半” ，因为圆周角与弧是两类图形，不能比较，定理中比较的是它们的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．注意“等弦所对的圆周角不一定相等” ．因为一条弦对着两类圆周角，这两类圆周角之间是互补关系．如图， 都是弦 所对的圆周角，但 ， ，而 ． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径．注意：不要出现“半圆(或直径)所对的角是直角”这样的错误；反过来，“ 的角所对的弦是直径”这种说法也是错误的．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．注意：这个推论与“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是互逆定理，但此推论不能叙述为“三角形斜边中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形” ．并且此推论是判定三角形是直角三角形的主要方法． 13.1.7. 圆内接四边形 圆内接多边形及多边形外接圆的概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．说明：任意一个三角形都有一个外接圆，但任意一个四边形不一定有外接圆，所以圆内接四边形是特殊的四边形．圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．说明：“内对角”是圆内接四边形的专用名词，圆内接四边形的某一个外角的内对角是指与其相邻的内角的对角，使用本定理时，要注意观察图形，不要弄错． 13.2. 直线和圆的位置关系（包含题目总数：25） 13.2.1. 直线和圆的位置关系 直线与圆位置关系的有关概念：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，(如图1(1)，直线 与⊙ 相交)，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点．直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，(如图1(2)，直线 与⊙ 相切)，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离，(如图1(3)，直线 与⊙ 相离)． (1) (2) (3)图1直线与圆的位置关系的性质和判定：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线 的距离为d，那么(1)直线 与⊙O相交 (如图2(1))；(2)直线 与⊙O相切 (如图2(2))；(3)直线 与⊙O相离 (如图2(3))． (1) (2) (3)图2说明：(1)命题左边反映的是两个图形(直线和圆)的位置关系，右边反映的是两个数量的大小关系．(2)直线和圆的位置关系，既可转化为直线和点(圆心)的位置关系，又可转化为点(圆心)到直线的距离与半径的大小关系．(3)对于两个图形(直线 与⊙O)的位置关系，或两个数( 和 )，有且仅有一种情况是成立的． 13.2.2. 切线的判定和性质 切线的判定定理：定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．说明：(1)如图，定理的题设是：一条直线 满足两个条件：①经过半径 的外端点 ；②垂直这条半径 ．结论是：这条直线 是圆的切线．即直线 于 ，则 为⊙ 切线．(2)定理题设中的两个条件“经过半径外端”和“垂直于这条半径”缺一不可，否则就不一定是圆的切线．(3)定理是从直线与圆相切的等价条件(圆心到直线距离等于半径)直接得出来的，为了便于应用，才把它改写成这样一种形式，因此定理不必另加证明．圆切线的判定方法：(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)数量关系：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．说明：(2)和(3)是由(1)推演出的数量关系和圆形位置关系．但它们的目标都是判定直线与圆相切．切线的性质定理及其推论：定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．说明：本定理及其两个推论可以用一个定理叙述出来，即：如果圆的一条直线满足以下三个条件中的任意两条，那么就一定满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心． 13.2.3. 切线长定理 切线长的概念：如图，过圆外一点有两条直线PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长(如图中的PA、PB的两线段的长为⊙O切线长)．注意：要明确切线和切线长的区别：切线是直线，不可以度量，而切线长是切线上一条线段的长，即圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量，千万不要理解为：切线长就是切线的长度．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 说明：(1)如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，直线OP交⊙O于D、E，交弦AB于C，则：①由切线长定理得PA=PB， ．②由等腰三角形三线重合得PC AB，AC=BC．③由垂径定理得： ， ．④由切线性质定理得：OA AP，OB BP．⑤连结AD、BD，由AD、BD分别平分 得：D为 内心．⑥ ． (2)这是切线长定理的一个基本图形，它能把许多圆的知识串联起来，并能找出一些规律性的东西，便于应用，也有利于开阔思路． 13.2.4. 弦切角 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．如图1中的 ．说明：(1)弦切角必须具备三个条件：①顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；②一边和圆相切(一边为圆的切线)；③一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如图2中， 很像弦切角，但它不是弦切角，因为 与圆相交， 也不一定是弦切角，只有已知 切圆于点 ，才能确定它是弦切角．(2)弦切角也可以看作圆周角的一边绕其顶点旋转到与圆相切时所成的角．因此，弦切角与圆周角存在密切关系． 图1 图2弦切角定理：定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．说明：(1)弦切角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧．(2)弦切角定理的证明同圆周角定理的证明极相似，同样是按圆心与角的位置关系分情况进行证明的，如图3：①圆心在弦切角 一边上；②圆心在弦切角 外部；③圆心在弦切角 内部．(3)由定理可得：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 图3弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等． 13.2.5. 和圆有关的比例线段 相交弦定理及其推论：定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．说明：本定理也可以叙述为：圆的弦相交于圆内的一点，各弦被这点内分成的两条线段长的乘积相等(所谓内分，是指在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点)．推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．切割线定理及其推论：定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．说明：本推论也可以叙述为：圆的两弦延长相交于圆外的一点，各弦被这点外分成两线段长的乘积相等(所谓外分，是指在一条线段的延长线上的点，将线段分成从这个点分别到两个端点的两条线段，这个点叫做这条线段的外分点)． 13.3. 圆和圆的位置关系（包含题目总数：18） 13.3.1. 圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系：在平面内，两圆做相对运动，可以得到下面不同的位置关系：(如图) (1)两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部(如图(1))；(2)两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部(如图(2))；(3)两圆相交：两个圆有两个公共点(如图(3))；(4)两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部(如图(4))；(5)两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例(如图(5))．说明：(1)圆和圆的位置关系，不但考虑了数(两圆公共点的个数)，而且考虑了形(两圆的位置关系)，两圆的五种位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类．(2)两圆外切和两圆内切，统一称为两圆相切，唯一的公共点称为切点．(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径R与r不可能相等，即具有内切或内含关系的两圆不可能为等圆，否则，这两个圆重合．两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系：设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么(1)两圆外离 (图(1))；(2)两圆外切 (图(2))；(3)两圆相交 ( )(图(3))；(4)两圆内切 ( )(图(4))；(5)两圆内含 ( )(图(5))．说明：(1)要注意内切、外切分别对应 ， ，注意它们的分界线作用．(2)当 时，两圆可能相交，还可能外切或外离；当 时，两圆可能相交，还可能内切或内含，因此，只有当 时，才能判定两圆相交． 13.3.2. 两圆相交的性质定理 两圆相交的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．如图，已知⊙ 与⊙ 相交于 两点，连结 和 ，则：① ，② 平分 ． 说明：(1)与相切两圆的性质类似，相交两圆的“连心线垂直平分两圆的公共弦” ，也是由圆的轴对称性推导出来的．(2)学习本定理时一定要注意是相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线．(3)在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解． 13.3.3. 相切两圆的性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．说明：(1)要正确区别连心线和圆心距：连心线是通过不同心的两个圆圆心的一条直线，而圆心距是指两个圆心之间的线段的长度．显然，两个圆圆心的连线(线段)一定在连心线(直线)上．(2)“相切两圆的连心线经过切点” ，也可理解为“相切两圆的圆心，切点在同一条直线上” ，或“经过相切两圆的切点和一个圆心的直线必经过另一个圆的圆心” ．(3)两圆相切时，连心线是常见的一条辅助线，使用连心线时要注意：连心线是直线而不是线段；有时也用圆心距做辅助线． 13.3.4. 两圆公切线的相关概念 和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．(如图1中 都与⊙ 、⊙ 相切，因此 都叫⊙ 、⊙ 的公切线) 两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．(如图1(1)图，切线 和 均是⊙ 、⊙ 的外公切线)两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．(如图1(2)图，切线 和 均是⊙ 、⊙ 的内公切线)公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．(如图1中线段 的长分别是公切线 的长和公切线 的长) 图1说明：(1)外公切线与内公切线的区分是以两圆与直线的关系为标准的，或看公切线：若公切线在两圆同侧(外面)称为外公切线，若公切线在两圆之间(被两圆夹着)称为内公切线． (2)注意区分公切线与公切线的长：公切线是直线，在这条直线上，两切点之间的线段的长是公切线的长．它们是两个不同类的概念，不要混淆．13.3.5. 公切线的数目与两圆的位置关系 公切线的数目与两圆的位置关系列表如下：位置 图形 内公切线数 外公切线数 公切线总数外离 2 2 4外切 1 2 3续1位置 图形 内公切线数 外公切线数 公切线总数相交 0 2 2内切 0 1 1续2位置 图形 内公切线数 外公切线数 公切线总数内含 0 0 013.3.6. 公切线的性质 (1)如果两圆有两条外公切线，那么这两条外公切线长相等；如果两圆有两条内公切线，那么这两条内公切线长相等．(2)如果两圆有两条外(内)公切线，并且相交，那么交点一定在两圆的连心线上．(3)如果两圆有两条外(内)公切线，并且相交，那么两圆的连心线平分这两条公切线的夹角．(4)如果两圆外切，那么两圆的连心线垂直两圆的内公切线；如果两圆内切，那么两圆的连心线垂直两圆的外公切线．说明：(1)公切线的上述性质都是由圆的轴对称性和切线的性质定理得到的．(2)在性质(2)，(3)中，若此两圆为等圆，则其两条外公切线就不能相交，其两外公切线平行． 13.4. 正多边形和圆（包含题目总数：40） 13.4.1. 正多边形及其相关概念 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形的各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正 边形的每个中心角都等于 ．说明：正 边形的中心角等于它的外角． 13.4.2. 正多边形与圆的关系 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．定理：把圆分成 ( )等份：①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 边形；②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 边形．此定理的证明思路是： ．说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定．(2)要注意定理中的“依次” 、“相邻”等容易被忽视的条件．(3)可以根据本定理作正多边形．定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．说明：此定理揭示了正多边形特有的性质，被称为正多边形的性质定理． 13.4.3. 正多边形的对称性 1、 正多边形都是轴对称图形，一个正 边形共有 条对称轴．每条对称轴都通过正 边形的中心．2、正2 边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心是对称中心． 13.4.4. 正多边形的相似性 边数相同的正多边形相似，所以它们的周长的比等于它们的边长(或半径、边心距)的比，它们的面积的比等于它们的边长(或半径、边心距)平方的比． 13.4.5. 正多边形的有关计算 正 边形的计算：定理：正 边形的半径和边心距把正 边形分成2 个全等的直角三角形(如图)．说明：由于这些直角三角形的斜边都是正 边形的半径R，一条直角边是正 边形的边心距 ，另一条直角边是正 边形的边长 的一半，一个锐角是正 边形中心角 的一半，即 ，另一个锐角为一个内角的一半，即 或 ，所以，根据上面定理就可以把正 边形的有关计算归结为解直角三角形问题． 正 边形的若干关系： ； ； ； ； ； ．说明：(1)上述公式是在上面定理的基础上，运用解直角三角形的方法得到的．(2)通过上述六个公式可以看出，只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了．例如知道：①圆的半径和边数；②圆的半径和边心距；③边长和边心距，就可以确定正多边形的其它元素．特别的，如果正 边形的边数 确定，那么已知它的边长 ，周长 ，半径 ，边心距 ，面积 中的任意一项都可以求出其它的各项． 13.4.6. 圆周长、弧长公式 圆周长公式： 或 ，其中 为圆半径， 为圆直径， 3.1415926…， 这个无限不循环小数叫做圆周率． 的圆心角所对的弧长 的计算公式： ．弓形的周长：弓形的周长 = 弦的长 + 弧的长． 13.4.7. 圆、扇形、弓形的面积公式 圆的面积公式： ( 是圆的半径)．一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．如图1，和半径 组成的图形是一个扇形．读作扇形 ．扇形的周长等于弧长加上两半径的长，即 ．扇形的面积：① ；② ． 图1由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形．弓形的面积：如图2中，每个圆中阴影部分的面积都是一个弓形的面积．从图中可以看出，只要把扇形 的面积和 的面积计算出来，就可以得到弓形 的面积． 图2①当弓形所含的弧是劣弧时，如图2(1)： ；②当弓形所含的弧是优弧时，如图2(2)： ；③当弓形所含的弧是半圆时，如图2(3)： ．说明：弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，可根据图形的直观确定应用上述公式中的哪一个． 13.4.8. 圆柱 圆柱可以看成是由一个矩形绕一边所在的直线旋转一周而得到的图形．旋转的轴叫圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆柱的底面，它是一个圆形．圆柱是由两个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆．两个底面之间距离叫做圆柱的高．在圆柱侧面上且平行于轴的线段叫做圆柱的母线．如图，该圆柱可看作是由矩形 绕 所在直线旋转得到的，直线 为圆柱的轴．平行于轴 ，且在侧面上的线段 …都是圆柱的母线．圆柱的基本特征：①圆柱的轴通过上、下底面的圆心，并且垂直底面．②圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高．③圆柱两底面平行，并且是半径相等的圆面，因此，面积相等．④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的图形是矩形．⑤圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高．⑥圆柱的体积 ． 13.4.9. 圆锥 圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转而成的图形．这条直线叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，圆锥底面是一个圆形，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面．圆锥的顶点到底面圆的距离叫做圆锥的高．连结圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．如图，该圆锥可以看成是由Rt 绕直角边 所在直线旋转而成， 所在直线为圆锥的轴， 为圆锥的高， 、 …都为圆锥的母线．圆锥的基本特征：①圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面．②圆锥的母线长都相等．③经过圆锥轴的平面截圆锥所得的图形是等腰三角形．④若圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则它的侧面积： ．⑤圆锥的体积 ．说明：(1)圆柱体的表面积等于侧面积与上、下两个底面积的和；圆锥体的表面积等于侧面积与底面积的和．(2)研究有关圆柱、圆锥的侧面积和表面积的计算问题，关键是理解圆柱和圆锥的侧面积公式，并明确 与 之间的关系．(3)关于圆柱(圆锥)的轴截面面积的计算问题，关键是结合图形分析清楚轴截面的各元素与圆柱(圆锥)各元素之间的关系．圆柱(圆锥)都有无数个轴截面，它们是全等的矩形(三角形)． 13.5. 轴对称和中心对称（包含题目总数：3） 012940； 012941； 012950； 轴对称和中心对称： 中心对称 轴对称定义 把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做对称中心 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴性质 1、关于中心对称的两个图形是全等形；2、关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；3、关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在一条直线上)且相等 1、关于轴对称的两个图形是全等形；2、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；3、两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并全被这一点平分，那么这两个图形关于这点对称 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称轴对称图形和中心对称图形： 把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．把一个图形绕某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．轴对称和轴对称图形的区别与联系：区别：(1)轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；(2)轴对称是对两个图形说的，轴对称图形是对一个图形说的．联系：(1)它们的定义中，都有沿某直线折叠，图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形，反过来，把轴对称图形的两部分当作两个图形，那么这两个图形成轴对称．中心对称和中心对称图形的区别与联系：区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上．联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形．常见的中心对称图形、轴对称图形：图形 轴对称图形 中心对称图形线段 是．有两条对称轴 是．其中点为对称中心射线 是．有一条对称轴 否直线 是．无数条对称轴 是．有无数个对称中心，即直线上的每一点角 是．有一条对称轴，即角的平分线所在直线 否平行线 是．①其任意一条垂线都是对称轴；②与两平行线等距且平行的一条直线是．与两平行线等距且平行的一条直线上任意一点等腰三角形 是． 底边上的高所在的直线 否等边三角形 是． 有三条对称轴 否平行四边形 否 是．对角线的交点为对称中心矩形 是．有两条对称轴，即过对边中点的直线 是．对角线的交点为对称中心菱形 是．两条对角线所在的直线 是．对角线的交点为对称中心正方形 是．有四条对称轴 是．对角线的交点为对称中心等腰梯形 是．有一条对称轴，是上下底的中垂线 否圆 是．有无数条对称轴，即每条直径所在的直线 是．其圆心为对称中心
想知道是不是轴对称.只要找出一条对称轴.对称轴两边是完全相等的.可以重合.旋转可以参考http://wenku.baidu.com/view/365545dc5022aaea998f0fe0.html圆.圆的直径连接两头（一端在圆上，一端在直径上） 这个角是直角 这叫垂径定理 圆周角定理 是 多少 ——乘圆面积或周长=这个扇行的面积或那条弧 360 别的我就不知道了 ．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合． 2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距． 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理） 切线长定理 垂径定理 圆周角定理 弦切角定理 四圆定理 3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合． 7.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 9.圆的两条平行弦所夹的弧相等 10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. (2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. (4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. (2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. (4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦. (5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. (6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等. 12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴． 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧. 14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等. 15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等. 16.同一个弧有无数个相对的圆周角. 17.弧的比等于弧所对的圆心角的比. 18.圆的内接四边形的对角互补或相等. 19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆. 20.直径是圆中最长的弦. 21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣7a686964616fe4b893e5b19e31333262366438弧. 补充：九点共圆定理 三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这9点共圆. 九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆. 九点圆具有许多有趣的性质,例如: 1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半; 2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点; 3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕. 4.九点圆是一个垂心组共有的九点圆,所以九点圆共与四个内切圆,十二个旁切圆相切. 5.九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线且OG=2VG VO=2HO 九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。 事先定义的变量与垂心、外心一样： d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘（句子很长^_^）。 c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 重心坐标：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。 本回答被网友采纳
我给你说个思路1就说你去某地吃匹百萨，然后你要了一个12寸的匹萨，但服务员说没有了，要给你个9寸的加3寸的。这度就出来了9寸+3寸<12寸。后面自己编吧2上数学课，课本上有个蝴蝶，老师问这是不是轴对称图形啊，全班同学说是，内可是你却质疑说蝴蝶的翅膀和里面的细胞排列都一样吗？又出来一个日记容..3抄数学课本
1可以用生活中的碗之类圆形的东西去套2可以跟电脑绘图扯上关系3随便了，不如上超市买东西，测什么什么成分含量之类的
一、圆及圆的相关量的定义（28个） 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。e5a48de588b67a686964616f31333330343265定点称为圆心，定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法（7个） 圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S 三、有关圆的基本性质与定理（27个） 1.点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）： P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。 2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）： AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。 10.圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 11.圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P）： 外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。 四、有关圆的计算公式 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 五 圆的方程 1.圆的标准方程 在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 2.圆的一般方程 把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2 相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r. 六 圆与直线的位置关系判断 平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是 讨论如下2种情况: (1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0], 代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0. 利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下: 如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交 如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切 如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离 (2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴) 将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1<x2 当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离 当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交 当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切一、圆的定义。1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。1、半径：圆上一点与圆心的连线段。2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。（1）劣弧：小于半圆周的弧。（2）优弧：大于半圆周的弧。5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。1、圆的对称性。（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。2、垂径定理。（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。5、夹在平行线间的两条弧相等。6、设⊙O的半径为r，OP=d。7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。）8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。2 9、平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。 则AB= 10、圆的切线判定。（1）d=r时，直线是圆的切线。 切点不明确：画垂直，证半径。（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。 切点明确：连半径，证垂直。11、圆的切线的性质（补充）。（1）经过切点的直径一定垂直于切线。（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。12、切线长定理。（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。（2）切线长定理。∵ PA、PB切⊙O于点 A、B∴ PA=PB，∠1=∠2。13、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）如图，△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O切△ABC三边于点D、E、F。 求：AD、BE、CF的长。 分析：设AD=x，则AD=AF=x，BD=BE=5－x，CE=CF=7－x. 可得方程：5－x＋7－x=6，解得x=3（3）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。 求内切圆的半径r。分析：先证得正方形ODCE，得CD=CE=r AD=AF=b－r，BE=BF=a－r b－r＋a－r=c 得r= （4）S△ABC= 14、（补充）（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。（2）相交弦定理。 圆的两条弦AB与CD相交于点P，则PA•PB=PC•PD。（3）切割线定理。如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，则PA2=PB•PC。（4）推论：如图，PAB、PCD是⊙O的割线，则PA•PB=PC•PD。 15、圆与圆的位置关系。（1）外离：d>r1＋r2， 交点有0个； 外切：d=r1＋r2， 交点有1个； 相交：r1－r2<d<r1＋r2，交点有2个； 内切：d=r1－r2， 交点有1个； 内含：0≤d<r1－r2， 交点有0个。 （2）性质。 相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 相切两圆的连心线必经过切点。16、圆中有关量的计算。（1）弧长有L表示，圆心角用n表示，圆的半径用R表示。 L= （2）扇形的面积用S表示。 S= S= （3）圆锥的侧面展开图是扇形。 r为底面圆的半径，a为母线长。 扇形的圆心角α= S侧= ar S全= ar＋ r2
在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆
初中数学宝典,你知道学习数学最重要的是什么吗?在初中学习数学这们课程的时候很多的学生都是比较烦恼的,因为这们课程是非常难的,并且难点非常多,很多的学生在刚开始学习的时候还可以更得上,但是过一段时间之后就会变得非常的吃力,那么你知道初中数学宝典是什么吗?我们来了解一下吧!复习笔记初中数学宝典----复习很多的学生在刚开始的时候学习这们课程不费劲但是往后可能会学的非常吃力,其实这就是因为在学习后边的内容时将之前的内容忘掉了,所以会导致学习比较吃力,所以现在就需要用到我们的初中数学宝典--复习.在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此我们要在自己的脑海中建立一个数学的知识树.我们在复习数学的时候,一定要对基础的知识进行整理和回顾,数学是一个阶梯e69da5e887aae799bee5baa6e997aee7ad9431333433623737式的课程,因此我们要建立起一个数学的知识树,我们要先在大脑中设想这棵知识树,然后找出自己的不足所在,在进行针对性的回顾,对于那写容易搞混的知识点,要进行梳理并且做到完全的区分,最重要的一点是,我们应该多层次的去分析问题,举一反三,将重点放在我们的解题思路上.数学的复习,要秉承一个原则,那就是小题突破大题稳定,我们不可能在大题上做到突破但是在小题上可以做到这一点,有意识的练习自己选择题和填空题的答题速度,当然速度是在正确的情况下,这样会给下面的试题留下很多的思考时间,使用各种方法来进行解答.在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此在脑海中建立一个数学的知识树是非常必要的,这可以更快速的帮助自己解题.复习知识点以上就是初中数学宝典的内容,当学习吃力的时候可以先复习一下之前的内容,当然这个时候之前记得笔记就可以用来复习了,这样可以更好的帮助我们学习后期的内容,并且可以改善学习吃力的问题.
晕，打了我10来个小时·~·#~！·谢谢大家给面子看啊~|原创|复习一、数与代数A：数与式：1：有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。2：实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。3：代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4：整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。幂的运算：AM。AN=A（M+N） （AM）N=AMN （AB）N=AN。BN 除法一样。A0=1，A-P=1/AP整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式两条：平方差公式/完全平方公式整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法分式：①整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。②分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。分式的运算：乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。加减法：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。分式方程：①分母中含有未知数的方程叫分式方程。②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。B：方程与不等式1：方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。2：不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。3：函数变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。一次函数：①若两个变量X，Y间的关系式可以表示成Y=KX+B（B为常数，K不等于0）的形式，则称Y是X的一次函数。②当B=0时，称Y是X的正比例函数。一次函数的图象：①把一个函数的自变量X与对应的因变量Y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。②正比例函数Y=KX的图象是经过原点的一条直线。③在一次函数中，当K〈0，B〈O，则经234象限；当K〈0，B〉0时，则经124象限；当K〉0，B〈0时，则经134象限；当K〉0，B〉0时，则经123象限。④当K〉0时，Y的值随X值的增大而增大，当X〈0时，Y的值随X值的增大而减少。二、空间与图形A：图形的认识：1：点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。3视图：主视图，左视图，俯视图。多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。2：角线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。3：相交线与平行线角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。4：三角形三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。5：四边形平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。多边形：①N边形的内e69da5e6ba90e799bee5baa6e79fa5e9819331333262343666角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。B：图形与变换：1：图形的轴对称轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。2:图形的平移和旋转平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3：图形的相似比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。。=M/N，那么A+C+。。。+M/B+D+。。。N=A/B。黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应边的比叫做相似比。相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。C：图形的坐标平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴与Y轴统称坐标轴，他们的公共原点O称为直角坐标系的原点。他们分4个象限。XA，YB记作（A，B）。D：证明定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。三、统计与概率1：统计科学记数法：一个大于10的数可以表示成A*10N的形式，其中1小于等于A小于10，N是正整数。扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。近似数字和有效数字：①测量的结果都是近似的。②利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。③对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。平均数：对于N个数X1，X2。。。XN，我们把1/N（X1+X2+。。。+XN）叫做这个N个数的算术平均数，记为X（上边一横）。加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。2：概率可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么0〈P（A）〈1。 参考资料： http://bbs.pep.com.cn/thread-179482-1-1.html 本回答被提问者采纳
丢了？为什么丢了？怎么丢了？成为“历史”东西就应该更加收藏！！你说是不是？我只能给你总结一些知识点，见谅见谅 初中的数学主要是分代数和几何两大部分，两者在中考中所占的比例，代数略大于几何（我不知道你是哪里的人，反正在我们江苏省泰州市的中考中是这样的）。 代数主7a686964616fe78988e69d8331333262343666要有以下几点：1，有理数的运算，主要讲有理数的三级运算（加减乘除和乘方开方）在这里要注意数字和字母的符号意识，就是，不要受小学数字的影响，一看见字母就不会做题了。2，整式的三级运算，注意符号意识的培养，还有就是因式分解，这和整式的乘法是互换的，注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。3，方程，会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用，记住，方程是一种方法，是一种解题的手段。4，函数，会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像，记住他们的特征，要会根据条件来应用。尤其要注意二次函数，这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道难题的 几何主要有以下几点：1，识别各种平面图形和立体图形，这你应该非常熟悉。2，图形的平移、旋转和轴对称，这个考察你的空间想象的能力，多做一些题。3，三角形的全等和相似，要会证明，注意要有完整的过程和严密的步骤，背过证明三角形全等的五种方法和证明相似的四种方法；还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质，要会应用，这在证明题中会有很大的帮助。4，四边形，把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念，选择体里会拿着它们之间的微小差异而大做文章，注意它们的判定和性质，证明题里也会考到。5，圆，我这里没有细学，因为这里不是我们中考的重点，但是圆的难度会很大，它的知识点很多、很碎，圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。 以上就是我对初中数学知识的总结，不过，这毕竟是我的东西，我是个高中生，初中的课本我也有一段时间没碰过了，有遗漏之处，就要靠你的努力了（不好意思，题目我也没有）
初中数学的知识点很多，不可能把它们压缩地成一篇文章。而学数学更重要的是在掌握基础知识的基础上对于解题技巧的积累吧。下面是我找道的一篇文章，希望对你有所帮助我只能给你总结一些知识点，见谅见谅 初中的数学主要是分代数和几何两大部分，两者在中考中所占的比例，代数略大于几何（我不知道你是哪里的人，反正在我们江苏省泰州市的中考中是这样的）。 代数主要有以下几点：1，有理数的运算，主要讲有理数的三级运算（加减乘除和乘方开方）在这里要注意数字和字e799bee5baa6e79fa5e98193e58685e5aeb931333262343666母的符号意识，就是，不要受小学数字的影响，一看见字母就不会做题了。2，整式的三级运算，注意符号意识的培养，还有就是因式分解，这和整式的乘法是互换的，注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。3，方程，会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用，记住，方程是一种方法，是一种解题的手段。4，函数，会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像，记住他们的特征，要会根据条件来应用。尤其要注意二次函数，这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道难题的 几何主要有以下几点：1，识别各种平面图形和立体图形，这你应该非常熟悉。2，图形的平移、旋转和轴对称，这个考察你的空间想象的能力，多做一些题。3，三角形的全等和相似，要会证明，注意要有完整的过程和严密的步骤，背过证明三角形全等的五种方法和证明相似的四种方法；还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质，要会应用，这在证明题中会有很大的帮助。4，四边形，把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念，选择体里会拿着它们之间的微小差异而大做文章，注意它们的判定和性质，证明题里也会考到。5，圆，我这里没有细学，因为这里不是我们中考的重点，但是圆的难度会很大，它的知识点很多、很碎，圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。 以上就是我对初中数学知识的总结，不过，这毕竟是我的东西，我是个高中生，初中的课本我也有一段时间没碰过了，有遗漏之处，就要靠你的努力了（不好意思，题目我也没有）
解题“锦囊” ——《数学论文》 算起来，接触“数学”科目，已有八年之久。说起我对学数学的心得和感受，很简单，一个词——“方法”。 就在今天，我们身处的这个时代，是终身教育的时代。所谓“终身教育”，就是一辈子都要学习，不断地学习，否则就会落伍。可“21世纪的文盲不是不识字的人，而是不会学习的人。”现在的我们面临的是升学考试，而如何能快速地将大量知识掌握,成为现在学生们最急需解决的问题。如何在这信息爆炸的时代用最有效的学习方法获得最多的知识……要想在有限的一生中学到更多知识，除了要坚持不懈的努力外，最重要的就是要掌握一套适合于自己的学习方法。一套完整的学习方法，不但能提升自信，并可在有关学习的领域中获得成功。有人说：“没有做不到的事，只有不会做事的人。”我们也可以说：“没有学不会的知识，只有不好的学习方法。” 所以学习任何一个科目，最重要的是要有正确和科学的方法。如今，数学成为了一种工具。在人们的生产和生活中，数学作为一种人们思维的特殊工具在社会中“隐式”地存在着，虽然它不像有形工具那样“看得见、摸得着”，但它的作用从某种意义上讲，要远远超过那些有形工具，因此说它是一种“人们生活、劳动和学习必不可少的工具”；而它也是一种奇妙的语言，因为数学有它自身的特点，因此也就有它自成体系的一套语言(符号)，而这种特殊的语言又是大家公认的，人们就可以利用这种特殊的语言来进行思想交流和方法交流，达到科学技术的共e799bee5baa6e79fa5e98193e58685e5aeb931333332633039同发展……由此可见，数学的应用是多么广泛！作为初二学生的我，对数学也是有一定研究的。现在的一些数学测试和练习，无非不是一些选择题和“热门”的几何证明题。可我们却时不时在这些题上失分——所以，在这里，我所探究的是一些关于数学上的常见解题方法。选择题是的一种客观性试题，具有题目的答案明显、记分客观的特点以及考察内容覆盖面广的优点。近年来在全国各省市中考会考中都会把选择题作为一类重要的考题并占有较大的比重。故掌握好选择题的解法，提高解选择题的能力，是我们学生在数学考试中应着力的一方面。解答选择题应首先认真审题，根据题目的特点采用科学、恰当的解题方法迅速、准确的解题。解选择题的常用方法有以下几种：1.直接法 直接法是常用的一种方法，它是从题干所给条件出发，根据所学的定义、定理、公式、公理、法则等进行合理的运算、推理，求出正确的结果，再与选择支核对，然后作出判断。2.特殊值法某些题目，有所给条件作出判断比较困难，可以用某些特殊值代入进行检证而作出判断。例 如果0＜x＜1，则x^-1,x ,x^2 这三个数的大小关系是（ ）.（A） x^2 ＜x^-1 ＜x （B） x^2 ＜x ＜x^-1（C） x ＜ x^2 ＜x^-1 （D） x^-1 ＜x ＜ x^2 分析：由所给的条件0＜x＜1来判断x^-1,x ,x^2的大小关系比较抽象，如果我们取0＜x＜1中的某一个数，它们的关系自然就得出了。取x=1／2，则x^-1=（1／2）^-1=2, x^2=（1／2）^2=1／4,由此有x^2 ＜x ＜x^-1，所以选（B）。 3.排除法排除法就是通过推理将不成立的答案一一否定，从而得出正确的答案。例 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（1，6）、（0，5），且对称轴为x=1／3，则（ ） （A）a=1／2，b=2，c=-5 （B）a=3，b=-2，c=5 （C）a=3，b=2，c=5 （D）a=-3，b=-2，c=6 分析：由二次函数图象过（0，5），知c=5，故可排除（A）、（D），又由对称轴为x=1／3，即-b／2a=1／3，又可排除（C），故应选择（B）。4.验证法验证法就是用所给的结论，代回原题中去验证而作出判断。 如果我们能很好得利用以上这些方法去做选择题，那么想必可以在此上面显示你的“风采”了！还有一些特殊方法，是专门针对现在的几何证明题。几何是生活中的物质空间的数学化，把物质空间作为数学活动的源泉。它研究的对象主要是我们学生日常生活中经常接触的东西。可我们学几何要比学代数困难得多。在一些习题过程中，当我们遇到一些比较陌生的几何题时，往往感到无从下手。这时，我们必须掌握一些联想的方法，让几何不会让我们感觉如此抽象。 1.联想基本图形：几何中的许多图形往往是由一些最基本上的图形通过一定方式的变形得到的，如果我们能够通过这些图形联想到它是由哪些基本图形变化得到的，并在这些基本的背景下去研究这个问题，那么，解题的思路也就自然而然地出来了。例1 在梯形ABCD中，如图1，AD∥BC，∠BCD=90度，BC=CD=12，∠ABE=45度 ，点E在DC上，BF⊥ AE于F，求BF的长。 G A D 分析：由∠BCD=90度以及 H F 两邻边BC=DC，可以联想到基本 E 图形是正方形，因此，可以将图形 补成正方形来解决。 B C （图1） 过点B作BG⊥AD，交DA的延长线与G，延长DG到H，使GH=CE，易证得△BHG ≌ △BEC，所以BH=BE，从而可证得△ABH≌△ABE， ∴ ∠H=∠AEB，∴∠BEC=∠H， ∴ ∠BEC=∠AEB，又可证得△BDE≌△BFE， ∴BF=BC=12. 2.联想常用结论：数学中有许多结论，尽管它们不是以定理的形式出现的，但在练习过程中经常用到它，如边长为a的等边三角形的面积等于 根号3 分之4 a
自新课程标准实施以来，随着数学的增删，数学更贴近学生的实际，学生学习数学的兴趣越来越浓，数学课堂教学也更加充满活力,数学学习的内容更为丰富，除了传统的有理数、一元一次方程等有关知识外，增加了空间图形的认识，数据的统计收集等内容，有理数一章侧重培养学生的数感、符号感、第一章则侧重学生的空间观念培养、生活中的数据这章重在培养学生的统计观念，学生的意识、推理能力的培养则体现在其它章节。以下就空间观念的培养和推理能力的培养谈一点自己的体会。 一、空间观念的培养 作为数学学习的核心内容之一----学生的空间观念的培养，成为新课程的一大特色，《新课程标准》把“空间观念”作为义务阶段培养学生初步的创新精神和实践能力的一个重要学习内容。 传统的几何课程，内容差不多都是和演绎证明，到了初中后，几乎成了一门纯粹的关于证明的学问。表面上看是遵循了“数学是思维的体操”这一传统要求，但实际上学生的学习积极性、主动性在此过程中被无情地扼杀，数学应有的人文功能、应用功能得不到有效地发挥。尤其是错过了培养学生空间观念的最佳时期。事实上，空间观念是创新精神所必需的基本要素，没有空间观念几乎谈不上任何发明创造。因为许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者要先从自己的想象出发画出设计图，然后根据设计图做出实物模型，再根据模型修改设计，直至最终完善成型。这是一个充满丰富想象力和创造性的探求过程，这个过程也是人的思维不断在二维和三维空间之间转换、利用直观进行思考的过程，空间观念在这个过程中起着至关生要的作用。所以，明确空间观念的意义、认识空间观念的特点、学生的空间观念，对培养学生初步的创新精神和实践能力是十分重要的。这就是《标准》把“空间观念”作为义务教育阶段重要学习内容的原因。 按照《标准》描述的空间观念的主要表现，其具体要求是：能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述，利用直观来进行思考． 在这一章的教学过程中，学生动手较多，亲身体验较多，因此在充分挖掘图形的现实模型，充分让学生动手操作，自主探索，合作交流，以积累有关图形的经验和数学活动经验，发展空间观念之外，还应让学生有充分的思考和想象的空间。为此在学习之初，应鼓励学生先动手，后思考；而以后，则应鼓励学生先想象，再动手。 例如，在开展正方体表面展开的教学时，可以让学生先观察正方体，再想象它的展开图，并把脑子里所想的图形画出来，然后再来进行动手操作，这样能充分验证学生对图形的空间想象力。 二、推理能力的培养 标准指出：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。演绎推理就是我们熟知的三段论，而合情推理则是指借助归纳、类比、统计等手段得出结论。在初中阶段它是我们问题和解决问题的重要手段。我们第二次教学几何知识是在第四章“平面图形及其位置关系”，这一章除了在探索图形性质、画图、拼摆图形、图案设计的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉外，还要了解一些关于图形的概念，如：直线、射线、线段、角、角度、周角、平角、钝角、直角、锐角和相关的一些性质，进行简单的换算以及两条直线平行和垂直关系等等。其实这些内容小学里就已经学过，这里只是要求学生在小学学过有关知识的基础上能进一步系统地理解和掌握。 在初一第二学期第二章有关“平行线与相交线”的教学中，我明确要求学生通过观察、操作（包括测量、画、折等）、想象、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，培养推理能力和有条理表达的能力。因为这是老教材中的内容，往往会把老教材中的要求带过来，重视概念、图形的性质及判定，而忽视对空间与图形性质的探索和推导过程。 我们知道作为一种直观、形象化的数学模型，几何是不可替代的，由图形带来的直e799bee5baa6e997aee7ad94e59b9ee7ad9431333332633039觉，能增进学生对数学的理解，激发他们的创造力，而对空间与图形性质的探索和推导有助于培养学生借助直观进行推理的能力。 平行线、相交线在现实生活中随处可见，同时它们又构成同一平面内两条直线的基本位置关系。学生在以往的学习中已经直观认识了平行与垂直的有关知识，积累了初步的数学活动经验。因此在这一章教学中，通过学生提供生动有趣的问题情境来进行观察、操作、推理、交流，以丰富数学活动。 在第五章中，我们了三角形。三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是其他图形的基础，在解决实际中也有着广泛的。因此探索和掌握它的基本性质对学生以后更好地认识现实世界，空间观念和推理能力都是非常重要的。 本章中，课本为我们提供了很多现实的有趣的问题情境，使学生经历从现实世界中抽象出几何模型和运用所学解决实际问题的过程，丰富的例子力求使学生能体会数学与生活的密切联系。多种形式的活动如测量、拼图、折纸和设计图案等，给了学生充分实践和探索的空间。为学生空间观念的发展，数学活动经验的积累，个性的发挥提供很好的机会。但我们在应用课本情境时，也要有一定的选择和变动。 三、应用意识的培养 义务阶段的数学学习，关于应用意识的刻画，主要在以下三个方面。 1、认识现实生活中蕴涵着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。 2、面对实际问题时能主动尝试着用数学的角度，运用知识和寻求解决问题的策略。 3、面对新的数学知识时，能主动寻找其实际背景，并探索其应用价值。 例如：在第七节“利用三角形全等测距离”的教学中，我并没有直接利用那位老人讲述的故事，而是带去了一个被压过的易拉罐，几根细钢丝和一团线。我说我很想知道那个易拉罐上两个点A、B之间的距离(两个不能用刻度尺量出，又不凹在里面的点)让学生想办法。本来我以为这个问题可让学生好好地思考、争论一番的，可你不得不相信现在小孩子的聪明，经过几次设计方案的被否定，很快有同学从我带去的材料上想到了利用全等来测距离。他们用刻度尺找出两根钢丝的中点，再用线把它们的中点固定在一起，把一边的两个端点分别放在A、B两个点上，让另一个同学量出另两个端点的距离就可以了。当问他为什么会这样想时，他很爽快地回答：因为现在我们学的是全等三角形，所以我就想利用全等三角形来解决这个问题。 通过几个巩固练习后，再让学生听一个经历过战争的老人讲述故事，讲到一半时可让学生先动脑筋想方法，并把自己的想法记录下来，再继续听完故事，并进行讨论。可惜的是在自己设计时，我看到学生在纸上又画又写，有自己的一套方案，可听完故事后，没有一个同学再愿意发表自己的意见了，问其原因，异口同声的回答是：没有那个战士想的方法好。一节课下来，学生不但经历了自己设计和与同学交流即自主探索、合作交流，同时也让每个学生在自我设计之余与别的设计方案进行了比较，找出了方案的优劣之处，丰富了数学活动的经验，也提高了思维水平，同时学生的应用意识也得到很好的培养。 第七章是“生活中的轴对称”。这一章的学习是为了让学生欣赏体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值。在丰富的现实情境中，经历观察、折叠、剪纸、图形欣赏与设计等数学活动过程，进一步发展空间观念。同时结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，增进学习数学兴趣。 在本章的教学中，我们会发现原来身边有很多轴对称现象，对此学生也有同感，他们不但能发现，而且还能自己进行设计，许多学生设计出了各种各样的美丽图案，然而在这一章中有一个较为重要的知识点：第三节“探索轴对称的性质”。当师生通过观察并生活中的轴对称现象，让学生对轴对称的性质进行探索时，学生空间观念的培养，推理能力的发展，对图形美的感受等都在这些实践活动中得到了逐渐的发展。(看看行不).
我认为首先要懂的圆的定义，要记住，才能在题目中灵活运用。一、圆及圆的相关量的定义（e68a84e8a2ade799bee5baa6e997aee7ad943133336630646428个）1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。7.在圆上，由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。二、有关圆的字母表示方法（7个）圆--⊙ 半径—r 弧--⌒ 直径—d扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理（27个）1.点P与圆O的位置关系（设P是一点，则PO是点到圆心的距离）： P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。2.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。4.在同圆或等圆中，如果2个圆心角，2个圆周角，2条弧，2条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。9.直线AB与圆O的位置关系（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。10.圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。11.圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P）：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。四、有关圆的计算公式1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl五 圆的方程1.圆的标准方程在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^22.圆的一般方程把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.六 圆与直线的位置关系判断 平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是讨论如下2种情况:(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴)将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1<x2当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切一、圆的定义。1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。1、半径：圆上一点与圆心的连线段。2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。（1）劣弧：小于半圆周的弧。（2）优弧：大于半圆周的弧。5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。1、圆的对称性。（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。2、垂径定理。（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论： 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。5、夹在平行线间的两条弧相等。6、设⊙O的半径为r，OP=d。7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。（直角三角形的外心就是斜边的中点。）8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。29、平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。则AB=10、圆的切线判定。（1）d=r时，直线是圆的切线。切点不明确：画垂直，证半径。（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。切点明确：连半径，证垂直。11、圆的切线的性质（补充）。（1）经过切点的直径一定垂直于切线。（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。12、切线长定理。（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。（2）切线长定理。∵ PA、PB切⊙O于点 A、B∴ PA=PB，∠1=∠2。13、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）如图，△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O切△ABC三边于点D、E、F。求：AD、BE、CF的长。分析：设AD=x，则AD=AF=x，BD=BE=5－x，CE=CF=7－x.可得方程：5－x＋7－x=6，解得x=3（3）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。求内切圆的半径r。分析：先证得正方形ODCE，得CD=CE=rAD=AF=b－r，BE=BF=a－rb－r＋a－r=c得r=（4）S△ABC=14、（补充）（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。（2）相交弦定理。圆的两条弦AB与CD相交于点P，则PA•PB=PC•PD。（3）切割线定理。如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，则PA2=PB•PC。（4）推论：如图，PAB、PCD是⊙O的割线，则PA•PB=PC•PD。15、圆与圆的位置关系。（1）外离：d>r1＋r2， 交点有0个；外切：d=r1＋r2， 交点有1个；相交：r1－r2<d<r1＋r2，交点有2个；内切：d=r1－r2， 交点有1个；内含：0≤d<r1－r2， 交点有0个。（2）性质。相交两圆的连心线垂直平分公共弦。相切两圆的连心线必经过切点。16、圆中有关量的计算。（1）弧长有L表示，圆心角用n表示，圆的半径用R表示。L=（2）扇形的面积用S表示。S= S=（3）圆锥的侧面展开图是扇形。r为底面圆的半径，a为母线长。 扇形的圆心角α= S侧= ar S全= ar＋ r2
圆，几何图形中最简单的图形之一，仅需一笔就可以成型。可是圆的学习却不像它的形状一样简单。学习圆不仅要了解它的概念，还需掌握相关的计算公式（弧线长，扇形面积等），位置关系，性质和相关定理等知识。我们学习圆的主要目的是运用它的性质定理去解题，每一种题型的解题模式虽然不是固定的，但却是有规律可循的，所以要学好圆的知识，首先要多动笔勤做题。下面我们以2017-2018学年上学期厦门市九年级质量检测数学卷的第24题为例，来看看如何解圆的相关题目。第24题第（1）题往往是基础题，所以决不能放弃，从题目条件中AB是半圆O的半径得出M=90（直径所e79fa5e98193e58685e5aeb931333365643032对的圆周角为90度），然后根据勾股定理可以求出AB长度。由于ON=OB（半径相等），NOB=60，得出ONB为等边三角形，则可求出NB的长等于半径OB。第（1）题第（2）题通常较难，但评分标准是按步得分，所以应该尽量把自己的思路写出来。同时再复杂的题目也是基础知识的堆砌，所以解题突破口就在已知条件，从题目中我们可以知道MC垂直AB，这里可以思考垂径定理，联系P是MN的中点，可以迅速想到中位线，这样辅助线的雏形就出来了。最后就是转化思想的应用了。第（2）题对于如何东西的学习都不可能是一蹴而就的，都需要一个过程。圆的学习也是如此，所以要学好圆的知识，一定要通过勤加练习，不断反思。这样才能成就自我! 本回答被网友采纳