09月22日, 2014 91次
一、函数的概念和表示函数的概念是高中数学中十分重要的概念之一，加深对函数的理解，对学好函数后续知识十分有帮助。对于函数的表示方法，也要掌握好，因为学习函数知识经常用到函数的表示方法。对于分段函数解析式的求法是难点，常用解法是先求出定义域在7a686964616fe4b893e5b19e31333339666139不同子区间上的解析表达式，然后进行合并。例1 已知 ，求f(x)。解：因为 ，所以 ，即 点评：通过观察、分析，将右端“ ”变为“ ”的表达式，这种解法对变形能力有一定的要求。解题中易忽视 的定义域应为 中“ ”的值域。二、函数的单调性函数的单调性是函数的重要性质之一，它对了解函数的其他各种信息十分有用。同时，利用函数的单调性解题也是一种重要的方法。例2 已知函数 （a为正数），且函数f(x)与g(x)的图象交y轴于同一点。（1）求a的值。（2）求函数 的单调递增区间。解：（1）由题意知， ，则 ，所以a＝1。（2） 当 时， ，它在区间 上单调递增；当 时， ，它在区间 上单调递增。∴函数 的单调递增区间为 。点评：如果一个函数的解析式含有绝对值符号，则这个函数可化为分段函数。其常用解法是把各分段上的函数看做独立函数，分别求出它们的单调区间，然后再整合到一起，但要注意分段函数的单调区间一定要在其定义域内。三、二次函数的图象和性质二次函数是高中数学中最常见、最重要的函数之一，对二次函数图象上下左右平移，二次函数的定义域、值域、单调性和最大（小）值问题，要熟练掌握。例3 已知函数 （1）当 时，求函数f(x)的最值。（2）求实数a的取值范围，使 在区间〔－5，5〕上是单调函数。解：（1） ，因为 ，所以当x＝1时， x＝－5时， （2） ，函数f(x)的对称轴为 ，要使f(x)在区间〔－5，5〕上是单调函数，所以 ，故a的取值范围为 点评：借助二次函数图象的直观性来判断函数的最值时，需要确定二次函数的开口方向及对称轴是否落在区间内。四、函数知识在解应用题中的作用解函数应用题一般分为如下四个步骤：①审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③求解：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将得出的结论，还原为实际问题的意义，即作答。一、给出函数 解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。 例1. 求下列函数的定义域：（1） ；（2） 。解：（1）要使函数有意义，x需满足 ，解得 。 此函数的定义域为 。（2）要使函数有意义，x需满足 ，即有 ，解得 ，或 。 此函数的定义域是 。二. 给出函数 的定义域，求函数 的定义域，其解法步骤是：若已知函数 的定义域为 ，则其复合函数 的定义域应由不等式 解得。 例2. 设函数 的定义域为 ，给出下列函数： ， ，其定义域仍是A的有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解：由 ，得 。由 。由 ，得 。由 ，得 。故选B。 例3. 已知函数 的定义域为（0，1），则函数 的定义域是________。解：函数 的定义域为（0，1），即 。 。 函数 的定义域为（2，4）。三. 给出 的定义域，求 的定义域，其解法步骤是：若已知 的定义域为 ，则 的定义域是 在 时的取值范围。 例4. 已知函数 的定义域为（0，1），则函数 的定义域是________。解：函数 的定义域为（0，1），即在 。令 ，于是 中， 。 函数 的定义域为（4，6）。 例5. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. 解：函数 的定义域为 ，即 。 ，即函数 的定义域是 。由 ，得 。 函数 的定义域为 ，应选A。说明：本题还多了一个层次，即由函数 的定义域求出原函数 的定义域，然后求出函数 的定义域。求函数值域是高考的热点，同时也是大家学习中的一个难点，在求函数值域时本人总结以下八种方法，供大家参考。方法一：观察法 例1. 求函数 的值域。解析：由 。故此函数值域为 。评注：此方法适用于解答选择题和填空题。方法二：不等式法 例2. 求函数 的值域。解析： ， 此函数值域为 。评注：此方法在解答综合题时可屡建奇功！方法三：反函数法 例3. 求函数 的值域。解析：由 得 。由 ，得 ，解得 。 此函数值域为 。评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x为一次的情形。方法四：分离常数法 例4. 求函数 的值域。解析：： 。从而易知此函数值域为 。评注：此题先分离常数，再利用不等式法求解。注意形如 的值域为 。方法五：判别式法 例5. 求函数 的值域。解析：原式整理可得 。当 即 时， 原式成立。当 即 时， ，解得 。综上可得原函数值域为 。评注：此方法适用于x为二次的情形，但应注意 时的情况。方法六：图象法 例6. 求函数 的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为 。评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。方法七：中间变量法例7. 求函数 的值域。解析：由上式易得 。由 。故此函数值域为 。评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。方法八：配方法 例8. 求函数 的值域。解析：因为 ，故此函数值域为 。评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。 性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域 在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。 例1. 函数 的反函数是（ ）。 A. B. C. D. 解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当 时， ； 时 。由性质1，可知原函数的反函数在 时， ，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。例2. 若函数 为函数 的反函数，则 的值域为__________。解析：常规方法是先求出 的反函数 ，再求得 的值域为 。如利用性质1， 的值域即 的定义域，可得 的值域为 。性质2 若 是函数 的反函数，则有 。从整个函数图象来考虑，是指 与其反函数 的图象关于直线 对称；从图象上的点来说，是指若原函数过点 ，则其反函数必过点 。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。例3. 函数 的反函数 的图象与 轴交于点P（0，2），如下图所示，则方程 在[1，4]上的根是 （ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解析：利用互为反函数的图象关于直线 对称， 的图象与 轴交于点P（0，2），可得原函数 的图象与 轴交于点（2，0），即 ，所以 的根为 ，应选C。例4. 设函数 的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 ， =0，则 =_________。解析：由 =0，可知函数 的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（ ，4）。由题意知点（ ，4）也在函数 的图象上，即有 ，根据性质2，可得 。性质3 单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数 有反函数，但其在定义域上不是单调函数。例5 函数 = 在区间 上存在反函数的充要条件是（ ）A. B. C. D. 解析：因为二次函数 不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间 或 上是单调函数，而已知函数 在区间 上存在反函数，所以 或者 ，即 或 ，应选C。例6. 已知 是定义在R上的单调递增函数，且有 ，试证明 。证明：（反证法）假设存在 ，使得 。∵ 是定义在R上的单调递增函数，∴由性质3知， 也是R上的单调递增函数。若 ，则 ，即 ，矛盾。同理，当 时，也可推出矛盾，故假设不成立，则 。性质4 若 是 的反函数，则 的反函数为 ， 的反函数为 。证明：假设 的反函数为 ，若 ，则 ，即 ，得 。也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明。例7. 设 ，函数 的图象与 的图象关于直线 对称，求 的值。解析：∵函数 的图象与 的图象关于直线 对称。∴ 与 互为反函数。根据性质4， 的反函数为 。∴ ，得 。例8. 设定义域为R的函数 、 都有反函数，并且函数 和 的图象关于直线 对称，若 ，求 的值。 解析：由已知条件可知 与 互为反函数，根据性质4， 的反函数为 ，可得 。 本回答由提问者推荐
函数值域(最值)求法小结一、配方法适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型.【例1】 求函数 的值域.解：为便于计算不妨: 配方得: ， 利用二次函数的相关知识得 ,从而得出: .【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值.解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2.练习 ○1 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.○2 当1≤x≤1000时，求 y＝(lgx)2－2lgx＋3值域.二、换元法【例3】 求函数 的值域.适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）.解析：由于题中含有 不便于计算，但如果令： 注意 从而得： 变形得 即： 【例4】 设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______．解：∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，∴令a＝6cosα，2b＝6sinα，α∈R.∴a＋b＝6cosα＋3sinα＝3sin(α＋φ)．∴a＋b的最小值是－3；故填－3.练习 ○3 已知 是圆 上的点，试求 的值域.三、反函数法（变量分类法）【例5】求函数 的值域.解：原式中x∈R，将原式化为 由○1解出x，得 ；（也可由 直接得到 ）因此函数值域是（－1，1）四、不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b为实数)．【例6】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则 的最小值为________．解析：因为x－2y＋3z＝0，所以y＝x＋3z2，因e79fa5e98193e78988e69d8331333264636162此y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得y2xz≥6xz＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．故y2xz的最小值为3五、数形结合法【例7】适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 六、判别式法把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝ax2＋bx＋cdx2＋ex＋f(a，d不同时为0)的分式函数的最值．【例9】求函数y＝x2－3x＋4x2＋3x＋4的最大值和最小值．解析：∵x2＋3x＋4＝0的判别式Δ1＝32－4×1×4＝－7＜0，∴x2＋3x＋4＞0对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R.∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0.当y＝1时，x＝0；当y≠1时，由x∈R，上面的一元二次方程必须有实根，∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，解得17≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝17.七、函数单调性法【例10】设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 12，则a＝________.解析：∵a＞1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.又∵它们的差为12，∴loga2＝12，a＝4.八、导数法【例11】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．解析：因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.
求函数值复域的方法主要有直接法（如配方法、单调性、导数法）和间接法（判别式法、有界性法），图象法，解析几何法等，还有数形结合法、制反函数法，楼主可以买湖南大学出版社的《高中数学知识问答词典》《高中数学学考必备用zd书》，我们同学都是用这个书，里面有详细、全面的介绍，值得一看。
给了。。。。 本回答由提问者推荐
由简单基本初等函数开始说吧，百大前提：研究函数先定义域。1.二次函数求最值：对称轴，配方法。2.利用度单调性求最值，一些函数在定义域内单调递增或递减，且定义域有界，由端点值得最值。3.换元法。带根号的把根号当一个整体，有三角函数知的，因为三角函数值域的有界性可求最值4.分数型函道数，分离常数求最值，往往令分子出现分母形式，最后出现简单分式5.特殊函数最值问题，如对勾函数，有渐近线与专最值点。这些比较常见，关键从函数的三大基本构成入手:定义属域，对应关系，最后求值域。
十种求初等函数值域的方法 【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法. 【关键词】初等函数；值域 函数的值域是函数的三要素之一e799bee5baa6e79fa5e98193e4b893e5b19e31333332633637, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义. 而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结. 一 观察法观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数 , 显然其值域为 . 此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得. 二 分离常数法此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如 形式的函数. 解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域. 例如对于函数 , 利用恒等变形, 得到: , 容易观察得出此函数的值域为 . 三 配方法对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域. 例1 求函数 的值域. 解答: 此题可以看作是 和 两个函数复合而成的函数, 对 配方可得: , 得到函数 的最大值 , 再根据 得到 为增函数且 , 故函数 的值域为: . 四 判别式法此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数 的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题. 例2 求函数 的值域. 解答: 先将此函数化成隐函数的形式得: , (1)这是一个关于 的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式,解得: . 故原函数的值域为: . 五 基本不等式法利用基本不等式 和 是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取 成立的条件. 例3 求函数 的值域. 解答: , 当且仅当 时 成立. 故函数的值域为 . 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例4 求函数 的值域. 解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出 项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: , (2)将上面等式的左边展开, 有: ,故而 , . 解得 , .从而原函数 ; ⅰ)当 时, , , 此时 , 等号成立, 当且仅当 . ⅱ)当 时, , , 此时有, 等号成立, 当且仅当 . 综上, 原函数的值域为: . 六 换元法利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域. 运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围. 例5 求函数 的值域. 分析: 若设 , 则 (其中 ). 原函数变为. 由于 , 故 . 七 反函数法对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域. 例 6 求函数 的值域. 解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题. 先证明 有反函数, 为此, 设 且 , .所以 为减函数, 存在反函数. 可以求得其反函数为: . 此函数的定义域为 , 故原函数的值域为 . 其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了. 八 图像法对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.例 7 求函数 的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为 . 九 利用函数的单调性 当函数 在 上单调, 譬如 在 上递增时, 自然有函数 在 上的值域为 (其中 ,当 时, 也称其存在,记为 ); 若 在 上递减, 函数 在 上的值域为 . 在闭区间 上也有相应的结论.例 8 求函数 的值域.分析: 此题可以看作 和 , 的复合函数, 显然函数 为单调递增函数, 易验证 亦是单调递增函数, 故函数 也是单调递增函数. 而此函数的定义域为 .当 时, 取得最小值 .当 时, 取得最大值 . 故而原函数的值域为 . 十 利用导数求函数的值域 若函数 在 内可导, 可以利用导数求得 在 内的极值, 然后再计算 在 , 点的极限值. 从而求得 的值域.例 9 求函数 在 内的值域.分析:显然 在 可导，且 . 由 得 的极值点为 . . . 所以, 函数 的值域为 . 很多数学符号不能显示
数学结合法。函数单调性法。韦达定理法
没有十种吧,哪有那么多种.
一 观察法