09月22日, 2014 108次
解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值的符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二：其一为平方，其二为讨论。所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！以下，具体说说绝对值不等式的解法。首先说“平方法”。不等式两边可不可以同时平方呢？一般来说，有点问题。比如5>3，平方后，5^2>3^2，但1>-2，平方后，1^2<(-2)^2。***事实上，本质原因在于函数y=x^2在R上不单调。但我们知道，y=x^2在R+上是单调递增的，因此不等式两边都是非负时，同时平方，不等号的方向不变，这是可以的。这里说到的***单调性的问题，是高一数学的重点内容，现在不明白可以跳过，到时候可一定要用心听!有初中数学的基础，也应该明白，对两个非负数来说，大的那个数，它的平方也相应会大一些;反过来，平方大一些的数，这个数本来也会大一些。比如|2x-1|≥1，两边同时平方，可得(2x-1)^2≥1，整理得4x^2-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1========注意========这里用到了“一元二次不等式的解法”，现在的初中肯定还是要学一元二次方程的解法的，学不学一元二次不等式的解法，我就不清楚了。如果没学，那“平方法”先放一放，跳到“讨论法”吧——见华丽的分割线！========END========一般地，|f(x)|≥a（a>0），那么f(x)^2)≥a^2，即f(x)^2)-a^2≥0因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0，因此f(x))≤-a或f(x)≥a （*）（PS.若a≤0，则|f(x)|≥a的解集为R。想一想，没问题吧：））同理，由|f(x)|≤a（a>0），可得-a≤f(x)≤a。 （**）熟练了以后，结论（*）、（**）都可以直接使用。比如|2x-1|＜5，由结论（**）（当然，这里没有等号，将等号去掉就可以了）可得：-5<2x-1<5，即-2<x<3这样，第一个问题“1≤|2x-1|＜5”就基本解决了。将不等式|2x-1|≥1，以及不等式|2x-1|＜5的解集求交集即可。答案是解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}再看第二个问题，|x-3|-|x+1|＜1这时候有两个绝对值符号，移项后得到|x-2|<|x+1|+1平方后（注意，为什么可以两边平方！），得到(x-2)^2<(x+1)^2+1+2|x+1|整理，得2|x+1|>7-8x你看，平方一次，绝对值符号少了一个，但还有一个，怎么办？当然再平方一次！但问题是，这次还能平方吗？不可以了，因为7-8x的符号未必是正啊！那怎么办？讨论！若7-8x<0，即x>7/8，则原不等式显然成立！（为什么？） ①若7-8x≥0，即x≤7/8，则原不等式等价于4(x+1)^2>(7-8x)^2整理得：4x^2-8x+3<0，即(2x-1)(2x-3)<0，因此1/2<x<3/2再考虑到x≤7/8，因此1/2<x≤7/8 ②综合 ①、②，原不等式的解集为{x|x>1/2}问题解决了！====================我是华丽的分割线====================回到问题的一开始，对于|x-3|-|x+1|＜1这样的不等式，我们更多的时候，可以从一开始进行讨论。|x-3|中的绝对值符号能否去掉？去掉以后，式子会发生怎样的变化？关键在于x>3还是x<3，因此x与3的大小关系是一个关键。同样的道理，考察|x+1|，可以知道x与-1的大小关系也是一个关键。于是，在两个关键处，进行如下的讨论：（1）若x<-1，则x+1<0，x-3<0，此时，原不等式可化为-(x-3)+(x+1)<1，即4<1，荒谬，舍去！（2）若-1≤x<3，则x+1≥0，x-3<0，此时，原不等式可化为-(x-3)-(x+1)<1，即-2x+2<1，解得x>1/2再考虑到-1≤x<3，因此1/2<x<3（3）若x≥3，则x+1>0，x-3≥0，此时，原不等式可化为(x-3)-(x+1)<1，即-4<1，显然成立！因此x≥3综合（2）（3）的结果可知，原不等式的解集为{x|x>1/2}那么对于第一个例子，1≤|2x-1|<5，怎么用“讨论法”，应该没问题了吧！（1）若2x-1≥0，即x≥1/2，则原不等式可化为1≤|2x-1|<5，……（2）若2x-1<0，即x<1/2，则原不等式可化为1≤1-2x<5，……以下略。顺便说一下，x=1/2时，2x-1=0，因此数学上，把x=1/2叫做式“2x-1”的零点。我们以上使用的“讨论法”，更具体的名称是“零点分段讨论法”。但就其蕴含的数学思想来说，就是“分类讨论”，这可是高中数学的基本思想方法，一定要掌握！以上，从绝对值的代数意义出发，即“数”的角度，给出了解绝对值不等式的两种常规思路，希望能给你有所启发。考虑到绝对值还有着极为有趣的几何意义，因此从“形”的角度出发，也可以得到一些有意思的解法。这事实上就涉及到高中数学中另一种极为重要的思想方法，即“数形结合”。篇幅的关系，就不赘述了。（其实，我也累了……）比如这道初中竞赛题：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有兴趣可以试一试！再说明一下，http://zhidao.baidu.com/question/175584325.html?fr=uc_push这个帖子我也看到了，准备回答的时候（写了一些，但没有你现在看到的这个那么长篇大论），已经封贴了。还想着白写了呢，正好你又发问，也算是有缘吧……
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（1） x-1<-5或x-1>5x<-4或x>6(2) 2x+3<-2或2x+3>22x<-5或2x>-1x<-5/2或x>-1/2(3) |x-3|>4x-3<-4或x-3>4x<-1或x>7(4) |3x-1|<2-2<3x-1<2-1<3x<3-1/3<x<1
VisualBoy，你好分段讨论这个一般分三段 当x≥3时 原式为x-3+2x+1＞2 则x＞4/3 则综合可得x≥3当-1/2＜x＜3时 3-x+2x+1 ＞2 得x＞-2 综合条件可得-1/2＜x＜3当x≤-1/2 时 3-x-2x-1 ＞2 得x＜4/3 综合条件可得 x≤-1/2综上x可以取到任意值 即x∈R所谓零点即为 x-3=0 解得一个零点 2x+1=0解得一个零点 再在这两个零点中间，两头分别讨论，可得三个区间 然后根据绝对值内的式子符号变换式子，使之成为正的，就可以去掉绝对值了希望我的回答对你有帮助。 本回答由提问者推荐
去掉绝对值,x<=-1/2,-1/2<x<3,x>3,分别讨论
1.首先找出零点。 即：令x-3=0,2x+1=0 ==>x=3,x=-1/2 所以将不等式分为3部分讨论：x≤-1/2，-1/2<x≤3,x>32.(1)x≤-1/2 ==>x-3<0.2x+1≤0==>丨x-3丨+丨2x+1丨＞2<==>3-x-2x-1>2==>3x<0==>x<0==>x≤-1/2 (2)-1/2<x≤3==>x-3≤0,2x+1>0==>丨x-3丨+丨2x+1丨＞2<==>3-x+2x+1>2==>x>-2==>-1/2<x≤3(3)x>3==>x-3>0,2x+1>0==>丨x-3丨+丨2x+1丨＞2<==>x-3+2x+1>2==>3x>4==>x>4/3==>x>3综上：不等式解集为{x|x∈R}
解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值的符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二：其一为平方，其二为讨论。所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！以下，具体说说绝对值不等式的解法。首先说“平方法”。不等式两边可不可以同时平方呢？一般来说，有点问题。比如5>3，平方后，5^2>3^2，但1>-2，平方后，1^2<(-2)^2。***事实上，本质原因在于函数y=x^2在R上不单调。但我们知道，y=x^2在R+上是单调递增的，因此不等式两边都是非负时，同时平方，不等号的方向不变，这是可以的。这里说到的***单调性的问题，是高一数学的重点内容，现在不明白可以跳过，到时候可一定要用心听!有初中数学的基础，也应该明白，对两个非负数来说，大的那个数，它的平方也相应会大一些;反过来，平方大一些的数，这个数本来也会大一些。比如|2x-1|≥1，两边同时平方，可得(2x-1)^2≥1，整理得4x^2-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1========注意========这里用到了“一元二次不等式的解法”，现在的初中肯定还是要学一元二次方程的解法的，学不学一元二次不等式的解法，我就不清楚了。如果没学，那“平方法”先放一放，跳到“讨论法”吧——见华丽的分割线！========END========一般地，|f(x)|≥a（a>0），那么f(x)^2)≥a^2，即f(x)^2)-a^2≥0因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0，因此f(x))≤-a或f(x)≥a （*）（PS.若a≤0，则|f(x)|≥a的解集为R。想一想，没问题吧：））同理，由|f(x)|≤a（a>0），可得-a≤f(x)≤a。 （**）熟练了以后，结论（*）、（**）都可以直接使用。比如|2x-1|＜5，由结论（**）（当然，这里没有等号，将等号去掉就可以了）可得：-5<2x-1<5，即-2<x<3这样，第一个问题“1≤|2x-1|＜5”就基本解决了。将不等式|2x-1|≥1，以及不等式|2x-1|＜5的解集求交集即可。答案是解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}再看第二个问题，|x-3|-|x+1|＜1这时候有两个绝对值符号，移项后得到|x-2|<|x+1|+1平方后（注意，为什么可以两边平方！），得到(x-2)^2<(x+1)^2+1+2|x+1|整理，得2|x+1|>7-8x你看，平方一次，绝对值符号少了一个，但还有一个，怎么办？当然再平方一次！但问题是，这次还能平方吗？不可以了，因为7-8x的符号未必是正啊！那怎么办？讨论！若7-8x<0，即x>7/8，则原不等式显然成立！（为什么？） ①若7-8x≥0，即x≤7/8，则原不等式等价于4(x+1)^2>(7-8x)^2整理得：4x^2-8x+3<0，即(2x-1)(2x-3)<0，因此1/2<x<3/2再考虑到x≤7/8，因此1/2<x≤7/8 ②综合 ①、②，原不等式的解集为{x|x>1/2}问题解决了！====================我是华丽的分割线====================回到问题的一开始，对于|x-3|-|x+1|＜1这样的不等式，我们更多的时候，可以从一开始进行讨论。|x-3|中的绝对值符号能否去掉？去掉以后，式子会发生怎样的变化？关键在于x>3还是x<3，因此x与3的大小关系是一个关键。同样的道理，考察|x+1|，可以知道x与-1的大小关系也是一个关键。于是，在两个关键处，进行如下的讨论：（1）若x<-1，则x+1<0，x-3<0，此时，原不等式可化为-(x-3)+(x+1)<1，即4<1，荒谬，舍去！（2）若-1≤x<3，则x+1≥0，x-3<0，此时，原不等式可化为-(x-3)-(x+1)<1，即-2x+2<1，解得x>1/2再考虑到-1≤x<3，因此1/2<x<3（3）若x≥3，则x+1>0，x-3≥0，此时，原不等式可化为(x-3)-(x+1)<1，即-4<1，显然成立！因此x≥3综合（2）（3）的结果可知，原不等式的解集为{x|x>1/2}那么对于第一个例子，1≤|2x-1|<5，怎么用“讨论法”，应该没问题了吧！（1）若2x-1≥0，即x≥1/2，则原不等式可化为1≤|2x-1|<5，……（2）若2x-1<0，即x<1/2，则原不等式可化为1≤1-2x<5，……以下略。顺便说一下，x=1/2时，2x-1=0，因此数学上，把x=1/2叫做式“2x-1”的零点。我们以上使用的“讨论法”，更具体的名称是“零点分段讨论法”。但就其蕴含的数学思想来说，就是“分类讨论”，这可是高中数学的基本思想方法，一定要掌握！以上，从绝对值的代数意义出发，即“数”的角度，给出了解绝对值不等式的两种常规思路，希望能给你有所启发。考虑到绝对值还有着极为有趣的几何意义，因此从“形”的角度出发，也可以得到一些有意思的解法。这事实上就涉及到高中数学中另一种极为重要的思想方法，即“数形结合”。篇幅的关系，就不赘述了。（其实，我也累了……）比如这道初中竞赛题：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有兴趣可以试一试！再说明一下，http://zhidao.baidu.com/question/175584325.html?fr=uc_push这个帖子我也看到了，准备回答的时候（写了一些，但没有你现在看到的这个那么长篇大论），已经封贴了。还想着白写了呢，正好你又发问，也算是有缘吧…… 本回答由提问者推荐
绝对值不等式的常见形式及解法绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：（1）绝对值定义法；（2）平方法；（3）零点区域法。常见的形式有以下几种。1. 形如不等式：|x|<a(a>0)利用绝对值的定义得不等式的解集为：-a<x<a2. 形如不等式：|x|>=a(a>0)它的解集为：x<=-a或x>=a。3. 形如不等式|ax+b|<c(c>0)它的解法是：先化为不等式组：-c<ax+b<c，再利用不等式的性质来得解集。4. 形如 |ax+b|>c(c>0)它的解法是：先化为不等式组：ax+b>c或ax+b<-c，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。
解绝对值不等式要把握住重点，即去绝对值。用的方法有：定义法，平方法，零点分段法，序轴法，分类讨论法。绝对值不等式，在不等式应用中，经常涉及重量、面积、体积等，也涉及某些数学对象的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。解决与绝对值有关的问题其关键往往在于去掉绝对值符号。当a，b同号时它们位于原点的同一边，与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。2.当a，b异号时它们分别位于原点的两边，a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。解决与绝对值有关的问题，其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二个：平方，所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了。讨论，所谓讨论，即x≥0时，|x|=x；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了。|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。 本回答被网友采纳
解含绝对值的不等式只有两种模型，它的解法都是由以下两个得来：（1）|X|>1那么X>1或者X<-1; |X|>3那么X>3或者X<-3; 即）|X|>a那么X>a或者X<-a;(两根之外型)(2)）|X|<1那么-1<X<1；|X|<3那么-3<X<3即)）|X|<a那么-a<X<a；(两根之内型)遇到这类不等式只需用对型把绝对值去掉即可：如：|1-3X|＞4 我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之外型，则：1-3X>4或者1-3X<-4，从而又解一次不等式得解集为：X>5/3或者X<-1又如：|1-3X|<2我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之内型则：-2<1-3X<2从而又解一次不等式得解集为：-1/3<x<1 记忆：大于取两根之外,小于取两根之间如果您对我的回答满意，请给好评，谢谢！